Monte Hall Problem

Posted by YuanBao on November 24, 2014

Monte Hall问题又称为三门问题,是一个源自于game theory和概率论的经典问题。Monte Hall这个名字来源于美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal中的主持人Monte Hall,而该问题为大多数非数学专业人士所知晓却是因为08年的著名美国影片《决胜21点》。

##问题

以下是Monte Hall问题的一个著名的叙述,它来自于Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》(Parade Magazine)玛丽莲·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant)专栏的信件:

假设你正在参加一个电视节目,你被要求在三扇门中选择一扇:其中一扇门后面有一辆车;其余两扇门后面则是山羊。你选择了一道门,假设是1号门,然后知道门后面有什么的主持人,开启了另一扇门后面有山羊的门,假设是3号门。他然后问你:“你现在想不想换选2号门?”,这种转换的决定对你来说是一种优势吗?

这个问题也被称为了Monte Hall悖论:虽然在问题的答案逻辑上并没有出现任何矛盾,但是却非常违反直觉。由于其非常强烈的反直觉性,该问题曾引起各界广泛的讨论。

##MonteHall答案

Monte Hall问题最终的答案是:转换选择将会使你得到车的概率增加一倍。我们用非常简单易懂的方式来解释为什么会出现这样一个反直觉的结果。假设我们记你当前抽到的物品为$Y$,那么当前抽到羊的概率为$P(Y=goat)$。我们记你转换选择后会赢得车为事件A,那么$P(A)$即为你改变选择后赢得车的概率。根据全概率公式,可知:

我们很容易可以知道:

所以最终$P(A) = 2/3$。这表明如果我们改变我们最初的选择,那么我们得到车的概率将会增大一倍。

##相似的问题(死囚问题)

死囚问题是一个与Monte Hall问题非常相似的问题。在一所监狱里有三个囚犯为别是A,B,C,其中有一个人将会被随机释放,而另外两个人将被处死。只有警长知道三个人中哪个人被选中作为释放的囚犯。此时,A囚犯问警长能否透漏一些信息,警长告诉A,他知道B囚犯肯定会被处死,其他信息一概不能透漏。那么在这种情况下,A认为他被处死的概率为$1/2$。A的判定到底对不对呢?

##死囚问题解答

事实上,A的理解是错误的。我们分别记A,B,C被处死为事件X,Y,Z。那么最终A存活的概率应该表示为:$P(\bar{A} B)$.我们记事件W为B被处死的情况下A被成功释放,那么

再次由全概率公式可知:

所以很容易得到$P(W) = 1/3$.这个结果告诉我们警长提供A的信息没有任何意义,这并不会减少A被处死的概率。事实上,可以从直观上分析以下,由于三个人中至少有两个人要被处死,所以不论警长告诉A是B或者C要被处死,对A来说都没有任何意义。